Definición y cálculo de logaritmos

En esta página definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base ya que tenemos otras páginas específicas para ello:

También, resolveremos unas cuantas ecuaciones logarítmicas muy sencillas y algunos problemas teóricos sobre el concepto del logaritmo.

Nivel orientativo: educación secundaria y preuniversitaria.

Definición de logaritmo

El logaritmo en base \(b\) de un número \(a> 0\) se representa por \( \log_b (a)\) y es el número \(c\) que cumple \(b^c = a\):

$$ \log_b (a) = c \Leftrightarrow b^c = a $$

Nota: la base \(b\) debe ser un número real positivo distinto de 1. El número \(a\) recibe el nombre de argumento del logaritmo.

Ejemplos

Las bases que más se utilizan en los logaritmos son \(10\), \(2\) y \(e\). Por esta razón, solemos referirnos a ellos directamente como logaritmo decimal, binario y natural, respectivamente:

Logaritmo decimal

El logaritmo decimal es el logaritmo en base \(10\):

$$ \log_{10}(x)$$

Ejemplo: \(\log_{10}(1000) = 3 \).

Es habitual no indicar la base en el logaritmo decimal, pero nosotros lo haremos para evitar confusiones.

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Logaritmo binario

El logaritmo binario es el logaritmo en base \(2\):

$$ \log_{2}(x)$$

Ejemplo: \(\log_{2}(8) = 3 \).

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Logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo en base \(e\) (es decir, el número de Euler, \(e \approx 2,7182... \)):

$$ \log_{e}(x)$$

Normalmente, el logaritmo natural se escribe como

$$ \ln(x) $$

Ejemplo: \(\ln(e^3) = \log_{e}(e^3) = 3 \).

No es correcto llamar logaritmo neperiano al logaritmo en base \(e\) (logaritmo natural), aunque es muy habitual que se haga. El logaritmo neperiano lo veremos a continuación.

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Diferencias

El logaritmo natural está entre el decimal y el binario:

Definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base. Resolveremos unas cuantas ecuaciones logarítmicas muy sencillas y algunos problemas teóricos sobre el concepto del logaritmo. Secundaria. Preuniversidad.

Observad que cuanto mayor es la base, más lento es el crecimiento de la función para \(x \geq 1\) y al contrario para \(0< x \leq 1\).

Los logaritmos son crecientes cuando su base es mayor que \(1\) y decrecientes cuando \(0 < b < 1\). Esto se deduce al cambiar la base del logaritmo a la decimal:

$$ \log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)} $$

Teniendo en cuenta que el logaritmo decimal es creciente y que el signo del denominador depende de si \(b\) es mayor o menor que \(1\), se deduce su monotonía.

Finalmente, vamos a ver el logaritmo neperiano:

Logaritmo neperiano

Este logaritmo difiere de los anteriores en que no tiene su propio nombre por tener una base concreta (como el decimal, binario o natural), sino porque se define como un cociente de logaritmos.

Su nombre es en honor al matemático escocés John Napier (1550-1617), que fue el primero que definió los logaritmos.

El logaritmo neperiano se define como sigue:

$$ NapLog(x)= \frac{ \log\left( \frac{10^7}{x}\right) }{ \log\left( \frac{10^7}{10^7-1}\right) } $$

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Aplicaciones

Para terminar, diremos que la importancia de los logaritmos se debe a sus múltiples y variadas aplicaciones en las matemáticas. Una de ellas es la resolución de ecuaciones exponenciales debido a sus propiedades. Por ejemplo, la solución de la ecuación \( 3^x = 5^{x+1} \) es

$$ x = \frac{\log(5)}{\log(3)-\log(5)} \approx -3.1507 $$

Aplicaciones destacadas:


Cálculo de logaritmos

A continuación, vamos a calcular logaritmos en distintas bases. Ya dijimos al comienzo de la página que lo haremos por la propia definición del logaritmo, escribiendo sus argumentos como potencias de las bases.

Ejercicio 1

Calculad los siguientes logaritmos decimales:

  1. \( \log_{10}(1)\)

  2. \( \log_{10}(100)\)

  3. \( \log_{10} \left(\frac{1}{100}\right) \)

  4. \( \log_{10}(0.1)\)

  5. \( \log_{10}(0.001)\)

Solución

Ejercicio 2

Calculad los siguientes logaritmos binarios:

  1. \( \log_{2}(1)\)

  2. \( \log_{2}(8)\)

  3. \( \log_{2}\left(\frac{1}{32}\right) \)

  4. \( \log_{2}(0.25)\)

  5. \( \log_{2}(0.5)\)

Solución

Ejercicio 3

Calculad los siguientes logaritmos (escribiendo los argumentos como potencias de la base del logaritmo):

  1. \( \log_{3}(27)\)

  2. \( \log_{5}(0.2)\)

  3. \( \log_{6}(2^2\cdot 3^2)\)

  4. \( \log_{7} \left( \frac{1}{49} \right) \)

  5. \( \log_{9}(1)\)

Solución

En el siguiente ejercicio tenemos que resolver ecuaciones logarítmicas muy sencillas. Para profundizar en estas ecuaciones, acceded a la página Ecuaciones logarítmicas.

Ejercicio 4

Calcular el valor de la incógnita \(x\) de los argumentos para que el resultado del logaritmo sea el indicado:

  1. \( \log_{e}( x+1 ) = 2\)

  2. \( \log_{3}( x^3 ) = 3\)

  3. \( \log_{5} ( x + 1 ) = 2 \)

  4. \( \log_{10}( 3x +1 ) = 2\)

  5. \( \log_{e}( 1 -2x ) = 5\)

Solución

Problemas teóricos

Ahora veamos unos cuantos problemas para pensar un poco sobre los logaritmos. Algunos son difíciles de razonar, pero es suficiente con que nos quedemos con las propiedades (aunque no con las explicaciones).

Problema 1

¿Por qué el logaritmo (en cualquier base) de \(1\) siempre es \(0\)?

$$ \log_b (1) = 0 $$

Solución

Problema 2

¿Cuándo un logaritmo decimal tiene un resultado entre \(0\) y \(1\) ?

Ayuda: tened en cuenta los siguientes logaritmos:

$$ \log_{10} (1) = 0 $$

$$ \log_{10}(10) = 1 $$

Solución

Problema 3

¿Cuándo un logaritmo en base \(b> 1\) tiene un valor entre \(0\) y \(1\) ?

Ayuda: tened en cuenta el problema anterior.

Solución

Problema 4

¿Cuándo un logaritmo decimal tiene resultado negativo? ¿Y si no es decimal?

Solución

Problema 5

Observad la gráfica del logaritmo decimal para deducir el resultado del logaritmo cuando su argumento se aproxima a 0.

Definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base. Resolveremos unas cuantas ecuaciones logarítmicas muy sencillas y algunos problemas teóricos sobre el concepto del logaritmo. Secundaria. Preuniversidad.

Solución

Problema 6

Definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base. Resolveremos unas cuantas ecuaciones logarítmicas muy sencillas y algunos problemas teóricos sobre el concepto del logaritmo. Secundaria. Preuniversidad.

Si \(a \leq b\), ¿son ciertas las siguientes relaciones? ¿Por qué?

$$ \log (a) \leq \log (b) $$

$$ \log_{5} (x) \leq \log_{3} (x), \forall x \geq 1 $$

Ayuda: observad las gráficas.

Solución






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