Propiedades de los logaritmos

En esta página vamos a enunciar las propiedades de los logaritmos y a emplearlas para resolver 21 ejercicios. Tenemos dos tipos de ejercicios:

No demostraremos las propiedades ni utilizaremos la propiedad del cambio de base porque tenemos páginas dedicadas a ello:

En los ejercicios podréis comprobar cuán útiles resultan las propiedades de los logaritmos. Lo son tanto que también las empleamos, por ejemplo, para resolver ecuaciones exponenciales.

Logaritmo del producto

$$ \log(a\cdot b) = \log(a)+\log(b) $$

El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores.

Ejemplo

Logaritmo del cociente

$$ \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log (a) - \log (b) $$

El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.

Ejemplo

Logaritmo de la potencia

$$ \log (a^b) = b\cdot \log (a) $$

El logaritmo de una potencia es el producto del exponente de la potencia por el logaritmo de la base.

Ejemplo

Finalmente, vamos a escribir la fórmula del cambio de base como una propiedad por su utilidad:

Cambio de base

$$ \log_b (a) = \frac{\log_c (a)}{\log_c (b)} $$

Ejemplo

Y también vamos a escribir una propiedad que no es más que la propia definición del logaritmo:

Propiedad

$$ b^{\log_b (a)} = a $$

Ejemplo

Importante

Para aplicar las propiedades de los logaritmos, sus bases tienen que ser iguales. Por ejemplo, una suma de logaritmos se puede escribir como el logaritmo de un producto sólo si la base de los logaritmos es la misma.

Ejemplo

Ejercicios de aplicación

Las propiedades del logaritmo se cumplen independientemente de la base del logaritmo. Por tanto, no vamos a indicar la base de los logaritmos en los ejercicios ya que no es relevante.

El resultado final de los ejercicios debe ser un único logaritmo.

Ejercicio 1

$$ \log (3) + \log (5) $$

Solución

Ejercicio 2

$$ \log (15) - \log (3) $$

Solución

Ejercicio 3

$$ \log (15) + \log (2) - \log(5)$$

Solución

Ejercicio 4

$$ \log (2) - \log (3) + \log(15)$$

Solución

Ejercicio 5

$$ 3\cdot \log (2) $$

Solución

Ejercicio 6

$$ 3\cdot \log (2) + 2\cdot \log (3) $$

Solución

Ejercicio 7

$$ 3\cdot \log (3) - 2\cdot \log (6) $$

Solución

Ejercicio 8

$$ 2\cdot \log (3) - 2\cdot \log (6) + \log(4)$$

Solución

Ejercicio 9

$$ 2\cdot \log (3) + 4\cdot \log (2) - 2\cdot \log (12) $$

Solución

Ejercicio 10

$$ \frac{1}{2}\cdot \log (9) $$

Solución

Ejercicio 11

$$ \frac{1}{2}\cdot \log (4) - \frac{1}{2}\cdot \log (81) $$

Solución

Ejercicio 12

$$ -\frac{1}{2}\cdot \log (25) + \frac{1}{3}\cdot \log (8) + 2\cdot \log (5) $$

Solución

Ejercicio 13

$$ \frac{1}{2}\cdot \log (100) + \log (1000) + \log (100) $$

Solución

Ejercicio 14

$$ 2 \log (1000) + 4\cdot \log (10) -3 \log (1000) $$

Solución

En los siguientes ejercicios tenemos que calcular el resultado de las operaciones aplicando las propiedades de los logaritmos para tener que calcular sólo un logaritmo (o el mínimo posible).

Tened en cuenta las bases de los logaritmos.

Ejercicio 15

$$ \log_3 (45) - \log_3 (5) $$

Solución

Ejercicio 16

$$ 2\cdot \log_2 (6) - 2\cdot \log_2 (3) $$

Solución

Ejercicio 17

$$ 8\log_5 (\sqrt{5}) $$

Solución

Ejercicio 18

$$ \log_2 (\sqrt{2}) + \log_2 (\sqrt{8}) $$

Solución

Ejercicio 19

$$ \log_5 (10) + \log_5 \left( \frac{1}{2}\right) $$

Solución

Ejercicio 20

$$ \log_2 \left( \frac{1}{4}\right) - \log_2 \left( \frac{1}{16}\right) $$

Solución

Ejercicio 21

$$ \log_2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \log_2 \left( \sqrt{2}^5\right)$$

Solución






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