Propiedades de los logaritmos
En esta página vamos a enunciar las propiedades de los logaritmos y a emplearlas para resolver 21 ejercicios. Tenemos dos tipos de ejercicios:
No demostraremos las propiedades ni utilizaremos la propiedad del cambio de base porque tenemos páginas dedicadas a ello:
En los ejercicios podréis comprobar cuán útiles resultan las propiedades de los logaritmos. Lo son tanto que también las empleamos, por ejemplo, para resolver ecuaciones exponenciales.
Logaritmo del producto
$$ \log(a\cdot b) = \log(a)+\log(b) $$
El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores.
Ejemplo
$$ \log_5 (15) = \log_5 (5\cdot 3) = $$
$$ = \log_5(5) + \log_5(3) = 1 + \log_5(3) $$
Logaritmo del cociente
$$ \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log (a) - \log (b) $$
El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.
Ejemplo
$$ \log_3 \left( \frac{3}{5}\right) = \log_3(3) - \log_3(5) =$$
$$ = 1 - \log_3(5) $$
Logaritmo de la potencia
$$ \log (a^b) = b\cdot \log (a) $$
El logaritmo de una potencia es el producto del exponente de la potencia por el logaritmo de la base.
Ejemplo
$$ \log_2 (8) = \log_2 (2^3) = $$
$$ = 3\cdot \log_2 (2) = 3\cdot 1 = 3 $$
Finalmente, vamos a escribir la fórmula del cambio de base como una propiedad por su utilidad:
Cambio de base
$$ \log_b (a) = \frac{\log_c (a)}{\log_c (b)} $$
Ejemplo
$$ \log_5(8) = \frac{\log_2 (8)}{\log_2 (5)} =$$
$$ = \frac{\log_2 (2^3)}{\log_2 (5)} = \frac{3}{\log_2 (5)} $$
Y también vamos a escribir una propiedad que no es más que la propia definición del logaritmo:
Propiedad
$$ b^{\log_b (a)} = a $$
Ejemplo
Importante
Para aplicar las propiedades de los logaritmos, sus bases tienen que ser iguales. Por ejemplo, una suma de logaritmos se puede escribir como el logaritmo de un producto sólo si la base de los logaritmos es la misma.
Ejemplo
Podemos sumar dos logaritmos binarios:
$$ \log_2 (5) + \log_2 (3) = \log_2 (15) $$
Pero no un logaritmo binario y uno decimal:
$$ \log_2 (5) + \log_{10} (3) \neq \log_2 (15) $$
Ejercicios de aplicación
Las propiedades del logaritmo se cumplen independientemente de la base del logaritmo. Por tanto, no vamos a indicar la base de los logaritmos en los ejercicios ya que no es relevante.
El resultado final de los ejercicios debe ser un único logaritmo.
Ejercicio 1
$$ \log (3) + \log (5) $$
Solución
La suma de logaritmos es el logaritmo del producto:
$$ \log (3) + \log (5) =$$
$$ = \log (3\cdot 5) = $$
$$ = \log (15) $$
Ejercicio 2
$$ \log (15) - \log (3) $$
Solución
La resta de los logaritmos es el logaritmo del cociente (el argumento del logaritmo que resta es el que queda en el denominador):
$$ \log (15) - \log (3) =$$
$$ = \log \left( \frac{15}{3}\right) =$$
$$ = \log (5) $$
Ejercicio 3
$$ \log (15) + \log (2) - \log(5)$$
Solución
Primero escribimos la suma de logaritmos como el logaritmo de un producto y, después, la resta de logaritmos como el logaritmo de un cociente:
$$ \log (15) + \log (2) - \log(5) =$$
$$ = \log (15\cdot 2) - \log(5) =$$
$$ = \log (30) - \log (5) =$$
$$ = \log \left( \frac{30}{5}\right) = $$
$$ = \log (6) $$
Ejercicio 4
$$ \log (2) - \log (3) + \log(15)$$
Solución
Escribimos la resta de logaritmos como el logaritmo de un cociente y la suma de logaritmos como el logaritmo de un producto:
$$ \log (2) - \log (3) + \log(15) =$$
$$= \log \left( \frac{2}{3}\right) + \log(15) =$$
$$ = \log \left( \frac{2}{3}\cdot 15 \right) =$$
$$= \log (10)$$
Observad que hemos simplificado la fracción del argumento del logaritmo:
$$ \frac{2}{3}\cdot 15 = 2\cdot 5 = 10$$
Ejercicio 5
$$ 3\cdot \log (2) $$
Solución
Escribimos el coeficiente del logaritmo (número que lo multiplica) como exponente del argumento:
$$ 3\cdot \log (2) =$$
$$= \log (2^3) =$$
$$= \log (8)$$
Ejercicio 6
$$ 3\cdot \log (2) + 2\cdot \log (3) $$
Solución
Antes de poder escribir la suma de logaritmos como el logaritmo de un producto tenemos que eliminar sus coeficientes:
$$ 3\cdot \log (2) + 2\cdot \log (3) =$$
$$ = \log (2^3) + \log (3^2) = $$
$$ = \log (8) + \log (9) = $$
$$ = \log (8\cdot 9) = \log (72) $$
Ejercicio 7
$$ 3\cdot \log (3) - 2\cdot \log (6) $$
Solución
Antes de aplicar la propiedad de la resta de logaritmos, eliminamos los coeficientes:
$$ 3\cdot \log (3) - 2\cdot \log (6) =$$
$$ = \log (3^3) - \log (6^2) = $$
$$ = \log (27) - \log (36) = $$
$$ = \log \left( \frac{27}{36} \right) = $$
$$ = \log \left( \frac{3}{4} \right) $$
Observad que hemos simplificado la fracción:
$$ \frac{27}{36} = \frac{3^3}{2^2\cdot 3^2 }=\frac{3}{4} $$
Ejercicio 8
$$ 2\cdot \log (3) - 2\cdot \log (6) + \log(4)$$
Solución
Eliminamos los coeficientes y aplicamos las propiedades de la resta y de la suma de logaritmos:
$$ 2\cdot \log (3) - 2\cdot \log (6) + \log(4) = $$
$$ = \log (3^2) - \log (6^2) + \log (4) = $$
$$ = \log \left( \frac{3^2}{6^2} \right) +\log (4) = $$
$$ = \log \left( \frac{3^2}{6^2} \cdot 4 \right) = $$
$$ = \log \left( \frac{3^2\cdot 4}{6^2} \right) = $$
$$ = \log \left( \frac{3^2\cdot 2^2}{2^2\cdot 3^2} \right) = $$
$$ = \log (1) $$
Si queréis, podéis escribir el resultado final del logaritmo:
$$ \log(1) = 0 $$
Ejercicio 9
$$ 2\cdot \log (3) + 4\cdot \log (2) - 2\cdot \log (12) $$
Solución
Primero escribimos los coeficientes como exponentes y después aplicamos las propiedades de la suma y la resta de logaritmos:
$$ 2\cdot \log (3) + 4\cdot \log (2) - 2\cdot \log (12) =$$
$$ = \log (3^2) + \log (2^4) - \log (12^2) = $$
Dejamos los argumentos en forma de potencias para simplificar más rápidamente:
$$ = \log (3^2) + \log \left( \frac{2^4}{12^2}\right) =$$
$$ = \log (3^2) + \log \left( \frac{2^4}{3^2\cdot 2^4}\right) =$$
$$ = \log \left( \frac{3^2 \cdot 2^4}{3^2\cdot 2^4}\right) = $$
$$ = \log (1) $$
El resultado del logaritmo es \(0\).
Ejercicio 10
$$ \frac{1}{2}\cdot \log (9) $$
Solución
Recordad que la raíz cuadrada es la potencia con exponente \(1/2\):
$$ x^\frac{1}{2} = \sqrt{x} $$
El coeficiente del logaritmo es la fracción \(1/2\), así que la escribimos como el exponente del argumento. Entonces, tendremos una raíz:
$$ \frac{1}{2}\cdot \log (9) =$$
$$= \log \left(9^\frac{1}{2}\right) = $$
$$ = \log (\sqrt{9}) = \log (3) $$
Ejercicio 11
$$ \frac{1}{2}\cdot \log (4) - \frac{1}{2}\cdot \log (81) $$
Solución
De nuevo tenemos raíces:
$$ \frac{1}{2}\cdot \log (4) - \frac{1}{2}\cdot \log (81) =$$
$$ = \log (4^\frac{1}{2}) - \log (81^\frac{1}{2}) = $$
$$ = \log (\sqrt{4}) - \log (\sqrt{81}) = $$
$$ = \log (2) - \log (9) =$$
$$= \log \left( \frac{2}{9}\right) $$
Ejercicio 12
$$ -\frac{1}{2}\cdot \log (25) + \frac{1}{3}\cdot \log (8) + 2\cdot \log (5) $$
Solución
Introducimos los coeficientes de los logaritmos como exponentes de sus argumentos:
$$ -\frac{1}{2}\cdot \log (25) + \frac{1}{3} \cdot \log (8) + 2\cdot \log (5) =$$
$$ =-\log(25^\frac{1}{2}) +\log (8^\frac{1}{3}) + \log (5^2) = $$
$$ =-\log( \sqrt{25}) +\log (\sqrt[3]{8}) + \log (25) = $$
$$ = -\log(5) + \log (2) + \log(25) = $$
$$ = -\log(5) +\log (50) = $$
$$ = \log(50) - \log(5) = $$
$$ = \log (10) $$
Ejercicio 13
$$ \frac{1}{2}\cdot \log (100) + \log (1000) + \log (100) $$
Solución
En este ejercicio vamos a escribir los argumentos de los logaritmos como potencias porque los tres son potencias de \(10\):
$$ 100 = 10^2 $$
$$ 1000 = 10^3 $$
Por tanto, tenemos
$$ \frac{1}{2}\cdot \log (10^2) + \log (10^3) + \log (10^2) $$
Extraemos el exponente del primer logaritmo:
$$ \frac{2}{2}\cdot \log (10) + \log (10^3) + \log (10^2) =$$
$$ =\log (10) + \log (10^3) + \log (10^2) =$$
$$ = \log (10\cdot 10^3\cdot 10^2) = \log (10^6) $$
No escribimos el resultado de la potencia porque tiene demasiados ceros.
Ejercicio 14
$$ 2 \log (1000) + 4\cdot \log (10) -3 \log (1000) $$
Solución
Seguimos el mismo método que en el ejercicio anterior:
$$ 2 \log (1000) + 4\cdot \log (10) -3 \log (1000) =$$
$$ =2 \log (10^3) + 4\cdot \log (10) -3 \log (10^3) = $$
$$ = 3\cdot 2 \log (10) + 4\cdot \log (10) -3\cdot 3 \log (10) = $$
$$ = 6 \log (10) + 4\cdot \log (10) -9 \log (10) = $$
$$ = \log(10) $$
En los siguientes ejercicios tenemos que calcular el resultado de las operaciones aplicando las propiedades de los logaritmos para tener que calcular sólo un logaritmo (o el mínimo posible).
Tened en cuenta las bases de los logaritmos.
Ejercicio 15
$$ \log_3 (45) - \log_3 (5) $$
Solución
Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:
$$ \log_3 (45) - \log_3 (5) =$$
$$ = \log_3 \left( \frac{45}{5} \right) = $$
$$ = \log_3 (9) = \log_3 (3^2) = 2 $$
Ejercicio 16
$$ 2\cdot \log_2 (6) - 2\cdot \log_2 (3) $$
Solución
$$ 2\cdot \log_2 (6) - 2\cdot \log_2 (3) = $$
$$ = \log_2 (6^2) - \log_2 (3^2) = $$
$$ = \log_2 (36) - \log_2 (9) = $$
$$ = \log_2 \left( \frac{36}{9}\right) =$$
$$= \log_2 (4) =$$
$$ = \log_2(2^2) = 2 $$
Ejercicio 17
$$ 8\log_5 (\sqrt{5}) $$
Solución
Escribimos la raíz como una potencia para escribirla fuera del logaritmo:
$$ 8\log_5 (\sqrt{5}) =$$
$$= 8\log_5 (5^\frac{1}{2}) =$$
$$ = 8\cdot \frac{1}{2}\log_5 (5)= $$
$$ = 4\log_5(5) = 4 $$
Ejercicio 18
$$ \log_2 (\sqrt{2}) + \log_2 (\sqrt{8}) $$
Solución
Escribimos las raíces como potencias:
$$ \log_2 (\sqrt{2}) + \log_2 (\sqrt{8}) =$$
$$ = \log_2 (2^\frac{1}{2}) +\log_2 (8^\frac{1}{2}) = $$
$$ = \frac{1}{2}\cdot \log_2 (2) + \frac{1}{2}\cdot \log_2 (8) = $$
$$= \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot \log_2 (2^3) = $$
$$ = \frac{1}{2}+ \frac{3}{2}\cdot \log_2 (2) = $$
$$ = \frac{1}{2}+ \frac{3}{2} = $$
$$ = \frac{4}{2} = 2 $$
Ejercicio 19
$$ \log_5 (10) + \log_5 \left( \frac{1}{2}\right) $$
Solución
Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos:
$$ \log_5 (10) + \log_5 \left( \frac{1}{2}\right) =$$
$$ = \log_5 \left( 10\cdot \frac{1}{2} \right) = $$
$$ = \log_5 (5) = 1 $$
Ejercicio 20
$$ \log_2 \left( \frac{1}{4}\right) - \log_2 \left( \frac{1}{16}\right) $$
Solución
Al restar los logaritmos tendremos la fracción de fracciones
$$ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}} =$$
$$= \frac{16}{4} = 4$$
Por tanto,
$$ \log_2 \left( \frac{1}{4}\right) - \log_2 \left( \frac{1}{16}\right) =$$
$$ = \log_2 (4) = \log_2 (2^2) = 2 $$
Ejercicio 21
$$ \log_2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \log_2 \left( \sqrt{2}^5\right)$$
Solución
Tened en cuenta que
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$$
$$ \log_2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \log_2 \left( \sqrt{2}^5\right) = $$
$$ = \log_2 (2^{-\frac{1}{2}}) + \log_2 \left( \sqrt{2}^5\right) =$$
$$ = \log_2 (2^{-\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}} ) =$$
$$= \log_2 {2^{\frac{4}{2}}} = 2 $$