Cambio de base (logaritmos)

En esta página vamos a cambiar la base de logaritmos. En algunos ejercicios se indica la nueva base y en otros se tiene que elegir para que la nueva base facilite el cálculo del logaritmo.

Es conveniente conocer las propiedades de los logaritmos para simplificarlos.

También, demostraremos un par de propiedades de los logaritmos mediante un cambio de base (ejercicios 4 y 5).

Recordamos la fórmula:

Fórmula para cambiar de base

$$ \log_{b} (x) = \frac{\log_c (x)}{\log_c (b)} $$

No olvidéis que la base de un logaritmo siempre debe ser positiva y distinta de 1.

Ejemplos

Observad que calcular los logaritmos del siguiente ejercicio no es sencillo en tanto que el argumento no puede escribirse como una potencia de la base. Esto se soluciona al cambiar a la base binaria.

Ejercicio 1

Pasad los siguientes logaritmos a base binaria para poder calcular su resultado:

  1. \( \log_{4}(32) \)

  2. \( \log_{4}(2) \)

  3. \( \log_{8}(32) \)

  4. \( \log_{32}(8) \)

  5. \( \log_{16}(2) \)

Solución

Observad que en el ejercicio anterior ha sido fácil calcular el resultado final porque tanto la base como el argumento de los logaritmos eran potencias de la nueva base del logaritmo. Esto no ocurre en el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2

Pasad los siguientes logaritmos de potencias de \(2\) a base binaria:

  1. \( \log_{5}(16) \)

  2. \( \log_{10}(4) \)

  3. \( \log_{e}(32) \)

  4. \( \log_{5}(2) \)

  5. \( \ln(8) \)

Solución

Ejercicio 3

Pasad los siguientes logaritmos a una base adecuada para que su cálculo sea inmediato:

  1. \( \log_{25}(5) \)

  2. \( \log_{9}(27) \)

  3. \( \log_{8}(16) \)

  4. \( \log_{100}(10) \)

  5. \( \log_{49}(7) \)

Solución

Ejercicio 4

Demostrad la siguiente igualdad (con \(a> 1\)):

$$ \log_{10}(a) = \frac{1}{\log_{a}(10)} $$

Y también la siguiente propiedad (con \(b> 1\)):

$$ \frac{1}{\log_{a}(b)} = \log_{b}(a) $$

Solución

Ejercicio 5

Demostrad la siguiente igualdad (siendo \(a> 0, b> 1\)):

$$ \log_{b}\left( \frac{1}{a} \right) = \log_{\frac{1}{b}}(a) $$

Solución






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