Cambio de base (logaritmos)
En esta página vamos a cambiar la base de logaritmos. En algunos ejercicios se indica la nueva base y en otros se tiene que elegir para que la nueva base facilite el cálculo del logaritmo.
Es conveniente conocer las propiedades de los logaritmos para simplificarlos.
También, demostraremos un par de propiedades de los logaritmos mediante un cambio de base (ejercicios 4 y 5).
Recordamos la fórmula:
Fórmula para cambiar de base
$$ \log_{b} (x) = \frac{\log_c (x)}{\log_c (b)} $$
No olvidéis que la base de un logaritmo siempre debe ser positiva y distinta de 1.
Ejemplos
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Podemos calcular el resultado del logaritmo \(\log_8(4)\) si cambiamos a base 2:
$$ \log_8 (4) = \frac{\log_2 (4)}{\log_2 (8)} =$$
$$ = \frac{\log_2 (2^2)}{\log_2 (2^3)} = \frac{2}{3} $$
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No ocurre lo mismo con el logaritmo \(\log_3(2)\)
$$ \log_3 (2) = \frac{\log_2 (2)}{\log_2 (3)} = \frac{1}{\log_2 (3)} $$
Observad que calcular los logaritmos del siguiente ejercicio no es sencillo en tanto que el argumento no puede escribirse como una potencia de la base. Esto se soluciona al cambiar a la base binaria.
Ejercicio 1
Pasad los siguientes logaritmos a base binaria para poder calcular su resultado:
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\( \log_{4}(32) \)
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\( \log_{4}(2) \)
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\( \log_{8}(32) \)
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\( \log_{32}(8) \)
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\( \log_{16}(2) \)
Solución
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\( \log_{4}(32) \)
Cuando hayamos cambiado de base, escribiremos \(32 = 2^5\) y \(4 = 2^2\) para simplificar el resultado:
$$ \log_{4} (32) = \frac{\log_2 (32)}{\log_2 (4)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^5)}{\log_2 (2^2)} = \frac{5}{2} $$
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\( \log_{4}(2) \)
$$ \log_{4} (2) = \frac{\log_2 (2)}{\log_2 (4)} = $$
$$ =\frac{ 1 }{\log_2 (2^2)} = \frac{1}{2} $$
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\( \log_{8}(32) \)
Cuando hayamos cambiado de base, escribiremos \(32 = 2^5\) y \(8 = 2^3\) para simplificar el resultado:
$$ \log_{8} (32) = \frac{\log_2 (32)}{\log_2 (8)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^5)}{\log_2 (2^3)} = \frac{5}{3} $$
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\( \log_{32}(8) \)
$$ \log_{32} (8) = \frac{\log_2 (8)}{\log_2 (32)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^3)}{\log_2 (2^5)} = \frac{3}{5} $$
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\( \log_{16}(2) \)
$$ \log_{16} (2) = \frac{\log_2 (2)}{\log_2 (16)} = $$
$$ =\frac{ 1 }{\log_2 (2^4)} = \frac{1}{4} $$
Observad que en el ejercicio anterior ha sido fácil calcular el resultado final porque tanto la base como el argumento de los logaritmos eran potencias de la nueva base del logaritmo. Esto no ocurre en el siguiente ejercicio:
Ejercicio 2
Pasad los siguientes logaritmos de potencias de \(2\) a base binaria:
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\( \log_{5}(16) \)
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\( \log_{10}(4) \)
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\( \log_{e}(32) \)
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\( \log_{5}(2) \)
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\( \ln(8) \)
Solución
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\( \log_{5}(16) \)
Cuando hayamos cambiado de base, escribiremos \(16\) como la potencia \(2^4\):
$$ \log_{5} (16) = \frac{\log_2 (16)}{\log_2 (5)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^4)}{\log_2 (5)} = \frac{4}{\log_2 (5)} $$
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\( \log_{10}(4) \)
$$ \log_{10} (4) = \frac{\log_2 (4)}{\log_2 (10)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^2)}{\log_2 (10)} = \frac{2}{\log_2 (10)} $$
Si escribimos \(10\) como \(2\cdot 5\), podemos aplicar la propiedad del logaritmo del producto en el denominador:
$$ \frac{2}{\log_2 (10)} = \frac{2}{\log_2 (2\cdot 5)} =$$
$$ = \frac{2}{\log_2(2)+\log_2(5)} = \frac{2}{ 1 +\log_2(5)} $$
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\( \log_{e}(32) \)
Escribiremos \(32\) como la potencia \(2^5\):
$$ \log_{e} (32) = \frac{\log_2 (32)}{\log_2 (e)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^5)}{\log_2 (e)} = \frac{5}{\log_2 (e)} $$
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\( \log_{5}(2) \)
$$ \log_{5} (2) = \frac{\log_2 (2)}{\log_2 (5)} = $$
$$ = \frac{ 1}{\log_2 (5)} $$
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\( \ln(8) \)
Recordad que \(\ln\) es el logaritmo natural (logaritmo en base \(e\)):
$$ \ln(8) = \log_{e} (8) = \frac{\log_2 (8)}{\log_2 (e)} = $$
$$ = \frac{ \log_2(2^3) }{\log_2 (e)} = \frac{ 3 }{\log_2 (e)} $$
Ejercicio 3
Pasad los siguientes logaritmos a una base adecuada para que su cálculo sea inmediato:
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\( \log_{25}(5) \)
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\( \log_{9}(27) \)
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\( \log_{8}(16) \)
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\( \log_{100}(10) \)
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\( \log_{49}(7) \)
Solución
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\( \log_{25}(5) \)
La base y el argumento son potencias de \(5\), así que pasamos el logaritmo a base \(5\):
$$ \log_{25} (5) = \frac{\log_5 (5)}{\log_5 (25)} = $$
$$ =\frac{1}{\log_5 (5^2)} = \frac{1}{2} $$
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\( \log_{9}(27) \)
La base y el argumento son potencias de \(3\), así que pasamos el logaritmo a base \(3\):
$$ \log_{9} (27) = \frac{\log_3 (27)}{\log_3 (9)} = $$
$$ =\frac{ \log_3(3^3)}{\log_3 (3^2)} = \frac{3}{2} $$
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\( \log_{8}(16) \)
La base y el argumento son potencias de \(2\), así que pasamos el logaritmo a base binaria:
$$ \log_{8} (16) = \frac{\log_2 (16)}{\log_2 (8)} = $$
$$ =\frac{ \log_2(2^4)}{\log_2 (2^3)} = \frac{4}{3} $$
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\( \log_{100}(10) \)
La base y el argumento son potencias de \(10\), así que pasamos el logaritmo a base \(10\):
$$ \log_{100} (10) = \frac{\log_{10} (10)}{\log_{10} (100)} = $$
$$ =\frac{ 1}{\log_{10} (10^2)} = \frac{1}{2} $$
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\( \log_{49}(7) \)
La base y el argumento son potencias de \(7\), así que pasamos el logaritmo a base \(7\):
$$ \log_{49} (7) = \frac{\log_7 (7)}{\log_7 (49)} = $$
$$ =\frac{1}{\log_7 (7^2)} = \frac{1}{2} $$
Ejercicio 4
Demostrad la siguiente igualdad (con \(a> 1\)):
$$ \log_{10}(a) = \frac{1}{\log_{a}(10)} $$
Y también la siguiente propiedad (con \(b> 1\)):
$$ \frac{1}{\log_{a}(b)} = \log_{b}(a) $$
Solución
Sólo tenemos que aplicar la fórmula del cambio de base. Pasamos a base \(a\):
$$ \log_{10}(a) = \frac{\log_a (a)}{\log_a (10)} =$$
$$ = \frac{1}{\log_{a}(10)} $$
Para demostrar la segunda igualdad procedemos del mismo modo:
$$ \log_{b}(a) = \frac{\log_a (a)}{\log_a (b)} =$$
$$ = \frac{1}{\log_{a}(b)} = \left( \log_{a}(b) \right)^{-1} $$
Ejercicio 5
Demostrad la siguiente igualdad (siendo \(a> 0, b> 1\)):
$$ \log_{b}\left( \frac{1}{a} \right) = \log_{\frac{1}{b}}(a) $$
Solución
Tened en cuenta que la fracción del argumento es
$$ \frac{1}{a} = a^{-1}$$
Aplicando las propiedades de los logaritmos:
$$ \log_{b}\left( \frac{1}{a} \right) = -1\cdot \log_{b} (a) $$
Ahora cambiamos la base del logaritmo:
$$ -1\cdot \log_{b} (a) = - \frac{ \log_{\frac{1}{b} }(a)}{ \log_{ \frac{1}{b}}\left( b \right)} = $$
$$ = - \frac{ \log_{\frac{1}{b} }(a)}{ \log_{ \frac{1}{b}}\left( \left(\frac{1}{b}\right)^{-1} \right) } = $$
$$ = - \frac{ \log_{\frac{1}{b} }(a)}{- \log_{ \frac{1}{b}}\left( \frac{1}{b} \right) } = $$
$$ = - \frac{ \log_{\frac{1}{b} }(a)}{- 1 } = \log_{\frac{1}{b} }(a) $$