Ecuaciones logarítmicas resueltas
Una ecuación logarítmica es una ecuación cuya incógnita (o incógnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).
Ejemplos
-
Incógnita en el argumento:
$$ \log_{2}(2x+4) = 3$$
La solución es \(x = 2\).
-
Incógnita en la base:
$$ \log_x (7) = 3 $$
La solución es \( x = \sqrt[3]{7} \) (Ecuación 9).
-
Incógnita multiplicando:
$$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$
La solución es \( x = 5/\log(3) \).
En esta página nos vamos a centrar en las ecuaciones logarítmicas con la incógnita en los argumentos (como la primera ecuación de los ejemplos), aunque también resolveremos alguna ecuación de los otros tipos.
Para poder resolver la ecuación es imprescindible conocer las propiedades de los logaritmos y las propiedades de las potencias. Además, la resolución de estas ecuaciones conlleva la resolución de otro tipo de ecuaciones: ecuaciones lineales, de segundo grado, de grados altos, irracionales, exponenciales, etc. Esto depende de las expresiones algebraicas de los argumentos.
En esta página vamos a resolver 26 ecuaciones logarítmicas. Iremos aumentado el grado de dificultad poco a poco.
Una vez sepamos resolver estas ecuaciones, podemos pasar a los sistemas de ecuaciones logarítmicas.
Conocimientos imprescindibles:
Nivel orientativo: educación secundaria y preuniversitaria.
26 Ecuaciones Resueltas
Recordatorio
-
Si dos logaritmos (en la misma base) son iguales, sus argumentos también:
$$ \log_b (x) = \log_b (y) \Rightarrow x = y $$
-
El argumento de un logaritmo debe ser positivo (es recomendable comprobar que las soluciones no hacen que los argumentos sean no positivos).
-
La base de un logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.
Si no se indica la base, consideraremos que es la decimal:
$$ \log(x) = \log_{10}(x) $$
Ecuación 1
$$ \log(2) + \log( x+3 ) = \log(x+5) $$
Solución
La suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto:
$$ \log(2\cdot (x+3) ) = \log(x+5) $$
$$ \log (2x +6 ) = \log(x+5) $$
Como los dos logaritmos son iguales, sus argumentos tienen que ser iguales. Por tanto,
$$ 2x +6 = x +5 $$
Resolvemos la ecuación de primer grado:
$$ 2x -x = 5 -6 $$
$$ x = -1 $$
Es recomendable que siempre comprobéis que los argumentos de los logaritmos de la ecuación inicial son positivos al sustituir la solución obtenida.
Comprobamos si la solución es válida:
\( x+3 = -1 +3 = 2 > 0 \)
\( x + 5 = -1 +5 = 4 > 0 \)
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = -1\).
Ecuación 2
$$ \log(3) + \log(x-1) = \log(2) + \log(x+1) $$
Solución
Sumamos los logaritmos de ambos lados de la igualdad (multiplicando sus argumentos):
$$ \log (3\cdot (x-1) ) = \log (2\cdot (x+1)) $$
$$ \log (3x -3 ) = \log (2x+ 2) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ 3x -3 = 2x +2 $$
$$ 3x-2x = 2+3 $$
$$ x = 5 $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x=5\).
Ecuación 3
$$\log ( x^2 -9 ) - \log ( x - 3 ) = \log(3) + \log(2x) $$
Solución
La resta de logaritmos es el logaritmo del cociente de sus argumentos y la suma de logaritmos es el logaritmo del producto de sus argumentos:
$$ \log \left( \frac{x^2-9}{x-3} \right) = \log(3\cdot 2x ) $$
Observad que el numerador de la fracción es el resultado de una suma por diferencia:
$$ x^2-9 = (x+3)(x-3) $$
Por tanto, podemos simplificar la fracción:
$$ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x+3 $$
La ecuación que queda es
$$ \log (x+3) = \log (6x) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ x+3 = 6x $$
$$ 3 = 5x $$
El coeficiente 5 pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{3}{5} $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3/5\).
Ecuación 4
$$ \log(15-2x) = 2\log(x) $$
Solución
El 2 pasa dentro del logaritmo como exponente:
$$ \log(15-2x) = \log(x^2) $$
Igualamos los argumentos:
$$ 15 -2x = x^2 $$
$$x^2 +2x -15 = 0 $$
Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:
$$ x =\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot (-15) }}{2} = $$
$$ =\frac{-2\pm \sqrt{ 64 }}{2} = $$
$$ =\frac{-2\pm 8 }{2} = $$
$$ =-1\pm 4 $$
Las soluciones son \(x = 3\) y \(x = -5\).
La solución negativa no es válida porque el logaritmo de la derecha tendría argumento no positivo.
Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3\).
Ecuación 5
$$ \log( 2x + 5 ) + \log( 2x - 5 ) = 2\log(x) +\log(3) $$
Solución
Sumamos los logaritmos de la izquierda:
$$ \log ((2x+5)\cdot (2x - 5)) = 2\log(x) +\log(3) $$
$$ \log ( 4x^2 -25 ) = 2\log(x) +\log(3) $$
Para poder sumar los logaritmos de la derecha tenemos que eliminar el coeficiente 2 que tiene uno de ellos. Como el 2 multiplica al logaritmo, entra como exponente de su argumento:
$$ \log ( 4x^2 -25 ) = \log(x^2) +\log(3) $$
Ahora podemos sumar los logaritmos:
$$ \log ( 4x^2 -25 ) = \log(3x^2) $$
Igualamos los argumentos:
$$ 4x^2 -25 =3x^2 $$
$$ x^2 -25 = 0 $$
Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
$$ x^2 = 25 $$
$$ x = \pm 5 $$
La solución \(x = -5\) no es válida porque hace que el argumento del logaritmo \(\log(x)\) sea negativo.
La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 5\).
Ecuación 6
$$ 3\log(x) = \log(3x) + \log (2x-3) $$
Solución
El 3 que hay en el lado izquierdo entra en el logaritmo; en el lado derecho sumamos los logaritmos:
$$ \log(x^3) = \log(3x\cdot (2x-3)) $$
Igualamos los argumentos:
$$ x^3 = 3x(2x-3) $$
Desarrollamos el producto de la derecha:
$$ x^3 = 6x^2 -9x $$
$$ x^3 -6x^2 +9x =0$$
La ecuación obtenida es de tercer grado, pero podemos extraer el factor común \(x\):
$$ x(x^2 -6x +9) = 0 $$
Una de las soluciones es \(x = 0\). Calculamos las otras resolviendo la ecuación de segundo grado:
$$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 4\cdot 9}}{2} = $$
$$ = \frac{6 \pm 0}{2} = 3 $$
Tenemos otra solución: \( x = 3\).
La primera solución obtenida no es solución de la ecuación logarítmica porque haría que los argumentos de los tres logaritmos sean no positivos.
La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3\).
Ecuación 7
$$ \log ( \sqrt{x^2-3x+2} ) =\log ( x ) $$
Solución
Igualamos los argumentos:
$$ \sqrt{x^2-3x+2} = x $$
Se trata de una ecuación irracional. Para resolverla, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado.
$$ x^2 -3x+2 = x^2 $$
$$ -3x +2 = 0 $$
$$ x = \frac{2}{3} $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 2/3\).
Ecuación 8
$$ \log_3 ( x ) = \log_9 ( 4 ) $$
Ayuda: cambiad los logaritmos a logaritmos en base 3.
$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{\log_c(b)} $$
Solución
La ecuación es una igualdad entre logaritmos, pero no podemos igualar sus argumentos porque sus bases no son las mismas. Por eso, cambiamos a base 3 el logaritmo de la derecha (base 9):
$$ \log_9 (4) = \frac{ \log_3 (4) }{ \log_3 (9) } $$
Observad que el logaritmo en base 3 de 9 es 2:
$$ \log_3 (9) = \log_3 (3^2) = 2 $$
Por tanto, la ecuación resultante es
$$ \log_3 ( x ) = \frac{ \log_3 (4) }{ 2 } $$
Pasamos el 2 multiplicando:
$$ 2\cdot \log_3 (x) = \log_3 (4) $$
$$ \log_3 (x^2) = \log_3 (4) $$
Ahora tenemos una igualdad entre logaritmos en la misma base. Podemos igualar sus argumentos:
$$ x^2 = 4 $$
Las soluciones de la ecuación de segundo grado incompleta son \( x = -2\) y \( x = 2\).
La primera de las soluciones no es válida porque hace que el argumento del logaritmo sea no positivo.
La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 2\).
Ecuación 9
$$ \log_x (7) = 3 $$
Ayuda: cambiad el logaritmo a la base 7.
Solución
La fórmula del cambio de base es
$$ \log_b {a} = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} $$
Cambiamos a base 7 el logaritmo:
$$ \log_{x} (7) = \frac{\log_7(7)}{\log_7(x)} =$$
$$ = \frac{1}{\log_7(x)} $$
La ecuación resultante es
$$ \frac{1}{\log_7(x)} = 3 $$
Observad que ahora la incógnita está en el argumento en lugar de la base.
Pasamos el denominador multiplicando al otro lado:
$$ 1 = 3\cdot \log_7 (x) $$
Pasamos el 3 dentro del logaritmo:
$$ 1 = \log_7 (x^3) $$
Podemos escribir el 1 como el logaritmo \(\log_7(7)\):
$$ \log_7 (7) = \log_7 (x^3) $$
Igualamos los argumentos:
$$ x^3 = 7 $$
Hacemos la raíz cúbica:
$$ x = \sqrt[3]{7} $$
Luego la solución de la ecuación logarítmica es \(x = \sqrt[3]{7}\).
Ecuación 10
$$ \log ( 6x ) - \log ( \sqrt{6x} ) = \log ( \sqrt{x^2+9 }) $$
Solución
Recordad que una raíz se puede escribir como una potencia:
$$ \sqrt{a} = a^{1/2} $$
Extraemos los exponentes de los logaritmos:
$$ \log(6x) - \frac{1}{2} \cdot \log(6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$
Como los logaritmos del lado izquierdo son iguales, podemos extraer factor común:
$$ \left (1 - \frac{1}{2} \right) \cdot \log (6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$
$$ \frac{1}{2} \cdot \log (6x) = \frac{1}{2} \cdot \log ( x^2+9 ) $$
Las dos fracciones se cancelan:
$$ \log (6x) = \log (x^2 +9 ) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación de segundo grado completa:
$$ 6x = x^2 + 9 $$
$$ x^2 -6x + 9 = 0 $$
$$ x = \frac{ 6 \pm 0}{2} = 3 $$
La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 3\).
Ecuación 11
$$ \log_{x+3} (9) = \log_{5}(3) $$
Ayuda: cambiad la base de los logaritmos (al menos, el de la izquierda).
Solución
Si cambiamos la base del logaritmo de la izquierda, la incógnita dejará de estar en la base del logaritmo y lo estará en el argumento. Ahora bien, hay que elegir la nueva base.
Como los argumentos de los logaritmos son potencias de 3, escogemos la base 3 para simplificar la ecuación.
Recordad la fórmula del cambio de base:
$$ \log_b {a} = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} $$
Cambiamos a base 3 el logaritmo de la izquierda:
$$ \log_{x+3} (9) = \frac{\log_3(9)}{\log_3(x+3)} =$$
$$ = \frac{ 2 }{\log_3(x+3)} $$
Cambiamos la base del otro logaritmo:
$$ \log_{5} (3) = \frac{\log_3(3)}{\log_3(5)} =$$
$$ = \frac{ 1 }{\log_3(5)} $$
La ecuación resultante es
$$ \frac{ 2 }{ \log_3(x+3) } = \frac{ 1 }{ \log_3(5) } $$
Pasamos los denominadores multiplicando al otro lado:
$$ 2\log_3(5) = \log_3(x+3) $$
$$ \log_3(5^2) = \log_3(x+3) $$
$$ \log_3(25) = \log_3(x+3) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ 25 = x+3 $$
$$ x = 25 -3 = 22 $$
La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 22\).
Ecuación 12
$$ \log ( |x-1| ) + \log ( |x-3| ) = \log ( x^2 ) $$
Ayuda: resolved la ecuación como si no estuvieran los valores absolutos y luego pensad por qué están.
Solución
Si omitimos los valores absolutos, la ecuación que tenemos es
$$ \log ( x-1 ) + \log ( x-3 ) = \log ( x^2 ) $$
Sumamos los logaritmos de la izquierda:
$$ \log ((x-1)(x-3)) = \log (x^2) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ (x-1)(x-3) = x^2 $$
$$ x^2 -3x -x +3 = x^2 $$
$$ x^2 -4x +3 = x^2 $$
$$ -4x + 3 = 0 $$
$$ x = \frac{3}{4} $$
La solución es positiva, pero al sustituirla en los argumentos del lado izquierdo de la ecuación, éstos serían negativos. Sin embargo, la presencia de los valores absolutos solventa este problema. Si no estuvieran, la ecuación logarítmica no tendría solución.
Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es \( x = 3/4 \).
Ecuación 13
$$ \log ( x^2 +3x+2 ) - \log (x+1) = \log(1-x) $$
Solución
Escribimos la resta de los logaritmos como el logaritmo del cociente de sus argumentos:
$$ \log \left( \frac{ x^2 +3x+2 }{x+1} \right) = \log (1-x) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ \frac{ x^2 +3x+2 }{x+1} = (1-x) $$
El polinomio del denominador pasa al otro lado multiplicando:
$$ x^2 +3x +2 = (x+1)(1-x) $$
Observad que en la derecha hay una suma por diferencia:
$$ x^2 +3x +2 = (1+x)(1-x) $$
$$ x^2 +3x +2 = 1-x^2 $$
$$ 2x^2 +3x +1 = 0$$
Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:
$$ x = \frac{ -3 \pm \sqrt{3^2 -4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}= $$
$$ = \frac{ -3 \pm \sqrt{1}}{4}$$
Las soluciones son \( x = -1/2\) y \( x = -1\). La solución \(x = -1\) no es válida porque hace que algunos argumentos se anulen.
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = -1/2\).
Ecuación 14
$$ \log_2 ( 5x^2 +15x+10 ) - \log_2 (x+2) = 2 $$
Ayuda: escribid el 2 de la derecha como un logaritmo.
Solución
Restamos los logaritmos de la izquierda:
$$ \log_2 \left( \frac{5x^2 +15x+10}{x+2} \right) = 2 $$
Si escribimos el 2 de la derecha como un logaritmo, tendremos una igualdad entre logaritmos.
Como la ecuación tiene logaritmos en base 2, escribimos 2 como
$$ 2 = \log_2 (2^2) = \log_2 (4) $$
La ecuación resultante es
$$ \log_2 \left( \frac{5x^2 +15x+10}{x+2} \right) = \log_2 (4) $$
Igualamos los argumentos:
$$ \frac{5x^2 +15x+10}{x+2} = 4 $$
El polinomio del denominador pasa multiplicando al otro lado:
$$ 5x^2 +15x + 10 = 4x +8 $$
$$ 5x^2 +11x +2 = 0 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ x = \frac{ -11 \pm \sqrt{11^2 -4\cdot 5\cdot 2}}{2\cdot 5}= $$
$$ = \frac{ -11 \pm \sqrt{81}}{10}= $$
$$ = \frac{ -11 \pm 9}{10} $$
Las soluciones son \( x = -1/5\) y \( x = -2\).
La solución \(x = -2\) no es una solución válida porque hace que los argumentos de los logaritmos sean 0.
La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = -1/5\).
Ecuación 15
$$ \log( 3^x ) + 5 = \log(9^x) $$
Solución
Extraemos los exponentes de los logaritmos:
$$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$
Si escribimos 9 como la potencia \(3^2\), podemos extraer el exponente y tendremos dos logaritmos iguales:
$$ x\cdot \log(3) + 5 = x \cdot \log (3^2) $$
$$ x\cdot \log(3) + 5 = 2x \cdot \log (3) $$
Pasamos el logaritmo a la derecha:
$$ 5 = 2x\cdot \log(3) -x \cdot \log(3) $$
$$ 5 = x \cdot \log(3) $$
Como el logaritmo multiplica a la incógnita, pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{5}{\log(3)} $$
Ecuación 16
$$ \log(x) + \log(x) = 2\log(x+1) $$
Solución
Sumamos los logaritmos de la izquierda:
$$ 2\log(x) = 2\log(x+1) $$
Los doses se pueden simplificar:
$$ \log(x) = \log(x+1) $$
Igualando los argumentos,
$$ x = x+1$$
Resolvemos la ecuación:
$$ 0 = 1 $$
La ecuación logarítmica no tiene solución.
Ecuación 17
$$\log(x) + \log(2) = \log(x+10) - \log(3) $$
Solución
Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos en la izquierda:
$$\log(2\cdot x) = \log(x+10) - \log(3) $$
Y la propiedad de la resta en la derecha:
$$\log(2\cdot x) = \log \left( \frac{x+10}{3} \right) $$
Como tenemos una igualdad de logaritmos, igualamos sus argumentos:
$$ 2x = \frac{x+10}{3} $$
Resolvemos la ecuación lineal:
$$ 3\cdot 2x = x+10 $$
$$ 6x = x+10 $$
$$ 5x = 10 $$
$$ x = \frac{10}{5} = 2 $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 2\).
Ecuación 18
$$ 2\log(3x) - \log(3) = \log(2x^2+1) $$
Solución
El coeficiente 2 del logaritmo de la izquierda puede entrar dentro del logaritmo como un exponente:
$$ \log ((3x)^2) - \log(3) =\log(2x^2+1) $$
$$ \log(9x^2) - \log(3) =\log(2x^2+1) $$
Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:
$$ \log \left( \frac{9x^2}{3}\right) = \log(2x^2+1) $$
$$ \log ( 3x^2) = \log(2x^2+1) $$
Igualamos los argumentos:
$$ 3x^2 = 2x^2 +1 $$
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
$$ 3x^2 -2x^2 = 1 $$
$$ x^2 = 1 $$
$$ x = \pm 1 $$
Tenemos dos soluciones: \(x = 1\) y \(x=-1\).
Recordad que los argumentos de un logaritmo deben ser positivos.
Tenemos que comprobar si estas soluciones hacen que el argumento sea no positivo (en la ecuación inicial).
-
Si \(x = 1\), el argumento \(3x\) y \(2x^2+1\) son positivos.
-
Sin embargo, si \(x = -1\), el argumento \(3x\) es negativo.
Por tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es \( x = 1\).
Ecuación 19
$$ \log(3-x) + \log(x+3) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$
Solución
En el lado izquierdo, sumamos los logaritmos:
$$ \log ((3-x)\cdot(x+3)) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$
Observad que
$$ \log \left( \frac{1}{x}\right) = \log (x^{-1}) = -\log(x) $$
Así, podemos reescribir el lado derecho:
$$ \log ((3-x)\cdot(x+3)) = \log(9-x) + \log(x) $$
Sumamos los logaritmos en la derecha:
$$ \log ( (3-x)\cdot(x+3) ) = \log( (9-x)\cdot x ) $$
Igualando los argumentos tenemos la ecuación:
$$(3-x)\cdot(x+3) = (9-x)\cdot x $$
Como en el lado izquierdo hay una suma por diferencia,
$$ 9 -x^2 = (9-x)\cdot x $$
$$ 9 -x^2 = 9x -x^2 $$
$$ 9 = 9x $$
$$ x = 1 $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1\).
Ecuación 20
$$ \log(3x-1) + \log(1-2x) = \log(x-1) $$
Solución
Sumamos los logaritmos de la izquierda:
$$ \log((3x-1) \cdot (1-2x)) = \log(x-1) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ (3x-1)(1-2x) = x-1 $$
Multiplicamos los polinomios de la izquierda:
$$ 3x -6x^2 -1 +2x = x-1 $$
$$ 4x -6x^2 = 0 $$
Es una ecuación de segundo grado incompleta:
$$ 2x(2 -3x) = 0 $$
Una solución es \(x = 0\) y la otra es \( x = 2/3\).
Comprobamos si los argumentos son positivos:
-
Si \(x = 0\), uno de los argumentos es negativo (el de la derecha: \(\log (x-1)\)). Por tanto, no es una solución válida.
-
Si \(x = 2/3\), dos argumentos son negativos. Por tanto, tampoco es una solución válida.
Por tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución.
Ecuación 21
$$ \log(x+5) - \log(25-x^2) = \log(5-x) $$
Solución
Restamos los logaritmos:
$$ \log \left( \frac{x+5}{25-x^2} \right) = \log(5-x) $$
Igualamos los argumentos:
$$ \frac{x+5}{25-x^2} = 5-x $$
En el denominador de la fracción tenemos el resultado de una suma por una diferencia:
$$ 25 -x^2 = (5-x)(x+5) $$
Escribiendo así el denominador, la fracción se puede simplificar:
$$ \frac{x+5}{ (5-x)(x+5) } = 5-x $$
$$ \frac{1}{5-x} = 5-x $$
Pasamos el denominador multiplicando a la derecha:
$$ 1 = (5-x)(5-x) $$
$$ 1 = 25 +x^2 -10x $$
$$ x^2 -10x +24 = 0 $$
Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:
$$ x = \frac{ 10\pm \sqrt{100-4\cdot 24} }{ 2 } = $$
$$ = \frac{ 10\pm \sqrt{4} }{ 2 } = $$
$$ = \frac{ 10\pm 2 }{ 2 } = $$
$$ = 5\pm 1 $$
Tenemos las soluciones \( x = 4\) y \(x = 6\).
Comprobamos si con estas soluciones los argumentos son positivos:
-
Si \(x = 4\), los argumentos son positivos. Es una solución.
-
Si \(x = 6\), dos argumentos son no positivos. Ésta no es una solución válida.
Por tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 4\).
Ecuación 22
$$ \log ( \sqrt{x} ) + \log( \sqrt[6]{x} ) = \log(\sqrt[3]{10x-25}) $$
Solución
Recordad que las raíces pueden escribirse como potencias:
$$ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $$
Escribimos las raíces como potencias:
$$ \log \left( x^{1/2} \right) + \log \left( x^{1/6} \right)= \log \left( (10x-25)^{1/3} \right) $$
Extraemos los exponentes:
$$ \frac{1}{2}\cdot \log ( x ) + \frac{1}{6}\cdot \log ( x )= \frac{1}{3}\cdot \log (10x-25) $$
Sumamos los logaritmos de la izquierda:
$$ \frac{2}{3}\cdot \log ( x ) = \frac{1}{3}\cdot \log (10x-25) $$
Los 3 se cancelan:
$$ 2 \cdot \log ( x ) = \log (10x-25) $$
$$ \log (x^2) = \log (10x-25) $$
Igualamos los argumentos:
$$ x^2 = 10x -25 $$
$$ x^2 -10x + 25 = 0 $$
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
$$ x = \frac{10\pm \sqrt{0}}{2} = 5 $$
La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 5\).
Ecuación 23
$$ \log_4 (x+1) = \log_2 (x-1) $$
Ayuda: podéis cambiar la base de los logaritmos.
Solución
Vamos a aplicar un cambio de base al logaritmo del lado izquierda. Lo escribiremos en base \(2\).
Recordad que la fórmula para cambiar de base es:
$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{ \log_c (b) } $$
$$ \log_4 (x+1) = \frac{ \log_2 (x+1) }{ \log_2 (4) } =$$
$$ = \frac{ \log_2 (x+1) }{ \log_2 (2^2) } = \frac{ \log_2 (x+1) }{ 2 } $$
Por tanto, la ecuación se transforma en la siguiente:
$$ \frac{ \log_2 (x+1) }{ 2 } = \log_2 (x-1) $$
Pasamos el denominador al otro lado:
$$ \log_2 (x+1) = 2 \cdot \log_2 (x-1) $$
Ahora lo introducimos como un exponente:
$$ \log_2 (x+1) = \log_2 ((x-1)^2) $$
Como tenemos una igualdad entre dos logaritmos con la misma base, igualamos sus argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ x +1 = (x-1)^2 $$
Desarrollamos el cuadrado del binomio:
$$ x +1 = x^2 -2x +1 $$
$$ x^2 -3x = 0 $$
Resolvemos la ecuación incompleta:
$$ x(x-3) = 0 $$
Una solución es \(x = 0\) y la otra es \(x = 3\).
Comprobamos si los argumentos de la ecuación logarítmica son positivos con estas soluciones:
-
Si \(x=0\), el argumento del logaritmo de la derecha es negativo. No es válida.
-
Si \(x = 3\), los dos argumentos son positivos.
Por tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 3\).
Ecuación 24
$$ \log(x+3) + \log(x-3) = \log(x) +\log(x-1) $$
Solución
Sumamos los logaritmos en ambos lados:
$$ \log ((x+3)(x-3)) = \log (x(x-1)) $$
Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:
$$ (x+3)(x-3) = x(x-1) $$
Calculamos los productos:
$$ x^2 -9 = x^2-x $$
$$ -9 = -x $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 9\).
Ecuación 25
$$ \log(\sqrt{x}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$
Solución
Observad que \(x\) no puede ser negativo (porque hay una raíz), ni \(0\) (para no anular argumentos ni el denominador).
Recordad que la raíz cuadrada de \(x\) es la potencia \(x^{1/2}\).
$$ \log(x^{1/2}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$
Restamos los logaritmos:
$$ \log\left(\frac{x^{1/2}}{x^2}\right) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$
Restamos los exponentes:
$$ \log(x^{-3/2}) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$
Igualamos argumentos:
$$ x^{-3/2} = \frac{2}{x} $$
$$ x\cdot x^{-3/2} = 2 $$
$$ x^{-1/2} = 2 $$
Hacemos el inverso:
$$ x^{1/2} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$
Elevamos al cuadrado:
$$ x = \frac{1}{4} $$
La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1/4\).
Ecuación 26
$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \log_{x} (2) $$
Ayuda: cambiad los logaritmos a base binaria (base 2).
Solución
Cambiamos la base del logaritmo de la izquierda:
$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(5x^2-6x)} =$$
$$ = \frac{3}{\log_2(5x^2-6x)} $$
Cambiamos la base del otro logaritmo:
$$ \log_{x} (2) = \frac{\log_2(2)}{\log_2(x)} =$$
$$ = \frac{1}{\log_2(x)} $$
La ecuación que obtenemos es
$$ \frac{3}{ \log_2(5x^2-6x) } = \frac{1}{ \log_2(x) } $$
Pasamos los denominadores al otro lado:
$$ 3\log_2(x) = \log_2(5x^2-6x) $$
$$\log_2(x^3) = \log_2(5x^2-6x) $$
Igualamos los argumentos:
$$ x^3 = 5x^2 -6x $$
$$ x^3 -5x^2 +6x = 0 $$
Extraemos factor común:
$$ x(x^2-5x+6) = 0 $$
Una solución es \(x = 0\). Calculamos las otras:
$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4\cdot 6}}{2} = $$
$$ = \frac{5 \pm 1}{2} $$
Las soluciones son \(x = 3\) y \(x = 2\).
La solución \(x = 0\) no es válida porque la base de un logaritmo no puede ser 0.
Las soluciones de la ecuación logarítmica son \(x = 3\) y \(x = 2\).