Ecuaciones logarítmicas resueltas

Una ecuación logarítmica es una ecuación cuya incógnita (o incógnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).

Ejemplos

  • Incógnita en el argumento:

    $$ \log_{2}(2x+4) = 3$$

    La solución es \(x = 2\).

  • Incógnita en la base:

    $$ \log_x (7) = 3 $$

    La solución es \( x = \sqrt[3]{7} \) (Ecuación 9).

  • Incógnita multiplicando:

    $$ x\cdot \log (3) + 5 = x\cdot \log(9) $$

    La solución es \( x = 5/\log(3) \).

En esta página nos vamos a centrar en las ecuaciones logarítmicas con la incógnita en los argumentos (como la primera ecuación de los ejemplos), aunque también resolveremos alguna ecuación de los otros tipos.

Para poder resolver la ecuación es imprescindible conocer las propiedades de los logaritmos y las propiedades de las potencias. Además, la resolución de estas ecuaciones conlleva la resolución de otro tipo de ecuaciones: ecuaciones lineales, de segundo grado, de grados altos, irracionales, exponenciales, etc. Esto depende de las expresiones algebraicas de los argumentos.

En esta página vamos a resolver 26 ecuaciones logarítmicas. Iremos aumentado el grado de dificultad poco a poco. Una vez sepamos resolver estas ecuaciones, podemos pasar a los sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Conocimientos imprescindibles:

Nivel orientativo: educación secundaria y preuniversitaria.

26 Ecuaciones Resueltas

Recordatorio

  • Si dos logaritmos (en la misma base) son iguales, sus argumentos también:

    $$ \log_b (x) = \log_b (y) \Rightarrow x = y $$

  • El argumento de un logaritmo debe ser positivo (es recomendable comprobar que las soluciones no hacen que los argumentos sean no positivos).

  • La base de un logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.

Si no se indica la base, consideraremos que es la decimal:

$$ \log(x) = \log_{10}(x) $$


Ecuación 1

$$ \log(2) + \log( x+3 ) = \log(x+5) $$

Solución

Ecuación 2

$$ \log(3) + \log(x-1) = \log(2) + \log(x+1) $$

Solución

Ecuación 3

$$\log ( x^2 -9 ) - \log ( x - 3 ) = \log(3) + \log(2x) $$

Solución

Ecuación 4

$$ \log(15-2x) = 2\log(x) $$

Solución

Ecuación 5

$$ \log( 2x + 5 ) + \log( 2x - 5 ) = 2\log(x) +\log(3) $$

Solución

Ecuación 6

$$ 3\log(x) = \log(3x) + \log (2x-3) $$

Solución

Ecuación 7

$$ \log ( \sqrt{x^2-3x+2} ) =\log ( x ) $$

Solución

Ecuación 8

$$ \log_3 ( x ) = \log_9 ( 4 ) $$

Ayuda: cambiad los logaritmos a logaritmos en base 3.

$$ \log_b (a) = \frac{ \log_c (a) }{\log_c(b)} $$

Solución

Ecuación 9

$$ \log_x (7) = 3 $$

Ayuda: cambiad el logaritmo a la base 7.

Solución

Ecuación 10

$$ \log ( 6x ) - \log ( \sqrt{6x} ) = \log ( \sqrt{x^2+9 }) $$

Solución

Ecuación 11

$$ \log_{x+3} (9) = \log_{5}(3) $$

Ayuda: cambiad la base de los logaritmos (al menos, el de la izquierda).

Solución

Ecuación 12

$$ \log ( |x-1| ) + \log ( |x-3| ) = \log ( x^2 ) $$

Ayuda: resolved la ecuación como si no estuvieran los valores absolutos y luego pensad por qué están.

Solución

Ecuación 13

$$ \log ( x^2 +3x+2 ) - \log (x+1) = \log(1-x) $$

Solución

Ecuación 14

$$ \log_2 ( 5x^2 +15x+10 ) - \log_2 (x+2) = 2 $$

Ayuda: escribid el 2 de la derecha como un logaritmo.

Solución

Ecuación 15

$$ \log( 3^x ) + 5 = \log(9^x) $$

Solución

Ecuación 16

$$ \log(x) + \log(x) = 2\log(x+1) $$

Solución

Ecuación 17

$$\log(x) + \log(2) = \log(x+10) - \log(3) $$

Solución

Ecuación 18

$$ 2\log(3x) - \log(3) = \log(2x^2+1) $$

Solución

Ecuación 19

$$ \log(3-x) + \log(x+3) = \log(9-x) - \log \left( \frac{1}{x}\right) $$

Solución

Ecuación 20

$$ \log(3x-1) + \log(1-2x) = \log(x-1) $$

Solución

Ecuación 21

$$ \log(x+5) - \log(25-x^2) = \log(5-x) $$

Solución

Ecuación 22

$$ \log ( \sqrt{x} ) + \log( \sqrt[6]{x} ) = \log(\sqrt[3]{10x-25}) $$

Solución

Ecuación 23

$$ \log_4 (x+1) = \log_2 (x-1) $$

Ayuda: podéis cambiar la base de los logaritmos.

Solución

Ecuación 24

$$ \log(x+3) + \log(x-3) = \log(x) +\log(x-1) $$

Solución

Ecuación 25

$$ \log(\sqrt{x}) - \log(x^2) = \log \left( \frac{2}{x}\right) $$

Solución

Ecuación 26

$$ \log_{5x^2-6x} (8) = \log_{x} (2) $$

Ayuda: cambiad los logaritmos a base binaria (base 2).

Solución








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