La función logaritmo

Esta página está dedicada a la función logaritmo \(f(x) = \log_b(x)\). Vamos a demostrar la continuidad, la derivabilidad y a calcular la derivada, la integral indefinida, la integral definida y la integral impropia.

Es imprescindible conocer las propiedades de los logaritmos y tener conocimientos básicos de cálculo diferencial y cálculo integral.

Nivel orientativo: preuniversitario.

Definición

Dado \(b\in\left]0, +\infty\right[ -\{ 1 \}\), la función logaritmo en base \(b\) es la función de variable real

$$ f_b: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$$

$$ f_b(x) = \log_b(x) $$

Nota: \(\mathbb{R}^+ := \left]0, +\infty\right[\) y \( \mathbb{R} := \left]-\infty, +\infty \right[ \).

Gráfica de la función para distintos valores de \(b\):

Definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base. Resolveremos unas cuantas ecuaciones logarítmicas muy sencillas y algunos problemas teóricos sobre el concepto del logaritmo. Secundaria. Preuniversidad.


Dominio e imagen

El dominio de la función logaritmo (en cualquier base) es los reales positivos:

$$ Dom(f_b) =\mathbb{R}^+= \left]0, +\infty\right[ $$

Y su imagen (o recorrido) es todos los reales:

$$ Img(f_b) = \mathbb{R} = \left]-\infty, +\infty \right[ $$


Continuidad

La función logaritmo es continua en todo su dominio (independientemente de la base).

Demostración

Función inversa

La función inversa de la función logaritmo en base \(b\) es la función

$$ f_b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$$

$$ f^{-1}_b(x) = b^x $$

Gráfica de la función inversa para distintos valores de \(b\):

Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función logaritmo y calculamos la inversa, la derivada, la integral indefinida, la integral definida y la integral impropia de la función logaritmo. Bachiller. Preuniversitario. Universidad.

Demostración

En adelante escribiremos el logaritmo natural (logaritmo en base \(e\)) de \(x\) como \( \ln (x)\).

Derivabilidad

La función logaritmo es derivable en su dominio y su derivada es

$$ \frac{\partial }{\partial x} \log_b (x) = \frac{1}{x\cdot \ln(b)} $$

Y en particular, la derivada del logaritmo natural es

$$ \frac{\partial }{\partial x} \ln (x) = \frac{1}{x} $$

Demostación

Primitivas

$$ \int{ \log_b(x) }dx = x\cdot \frac{\ln(x)-1}{\ln(b)}+K,$$

$$ K\in\mathbb{R}$$

Demostración

Integral definida

$$ \int_{A}^B \log_b(x)dx = \frac{ \ln \left( \frac{B^B}{A^A} \right) +A -B }{\ln(b)} $$

Demostración

Integral impropia

$$ \int_{0}^B \log_b(x)dx = \frac{ \ln \left( B^B \right) -B }{\ln(b)},\ B > 0$$

Nota: la integral \( \int_{A}^{+\infty} \log_b(x)dx\) no converge.

Demostración





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