Esta página está dedicada a la función logaritmo \(f(x) = \log_b(x)\). Vamos a demostrar la continuidad, la derivabilidad y a calcular la derivada, la integral indefinida, la integral definida y la integral impropia.
Es imprescindible conocer las propiedades de los logaritmos y tener conocimientos básicos de cálculo diferencial y cálculo integral.
Nivel orientativo: preuniversitario.
Dado \(b\in\left]0, +\infty\right[ -\{ 1 \}\), la función logaritmo en base \(b\) es la función de variable real
Nota: \(\mathbb{R}^+ := \left]0, +\infty\right[\) y \( \mathbb{R} := \left]-\infty, +\infty \right[ \).
Gráfica de la función para distintos valores de \(b\):
El dominio de la función logaritmo (en cualquier base) es los reales positivos:
$$ Dom(f_b) =\mathbb{R}^+= \left]0, +\infty\right[ $$
Y su imagen (o recorrido) es todos los reales:
$$ Img(f_b) = \mathbb{R} = \left]-\infty, +\infty \right[ $$
La función logaritmo es continua en todo su dominio (independientemente de la base).
La función inversa de la función logaritmo en base \(b\) es la función
Gráfica de la función inversa para distintos valores de \(b\):
En adelante escribiremos el logaritmo natural (logaritmo en base \(e\)) de \(x\) como \( \ln (x)\).
La función logaritmo es derivable en su dominio y su derivada es
Y en particular, la derivada del logaritmo natural es
Nota: la integral \( \int_{A}^{+\infty} \log_b(x)dx\) no converge.